2009-02-27

計算最適化システム 「IOSO」No.1 概説

今回は、計算最適化システム IOSO の機能を紹介します。 最適化はシミュレーションの中でも歴史が長く、多くの計算手法が提案されてきました。 適用分野をCAEに焦点を絞った場合、計算機負荷が大きいという問題への対処が第一課題となります。 この命題を踏まえて、IOSOは応答曲面法（RSM: Response Surface Method）を採用しています。 本文では、既往の計算技法の現状分析を行った後、Indirect Optimizationの概念と計算実施例を数回の分冊にて解説いたします。

公開モジュールIOSO-NMはMulti-Objective、即ち多目的関数用モジュールを意味します。 開発元のSIGMA社はNMに先行してIOSO-NS^[1]を開発しました。このコードはSingle-Objective、即ち単目的関数用の最適化コードです。

§1 CAEにおける最適化計算の概要

[1] 非線形最適化法に於ける２つの基本的アプローチ

CFD, FEA等を用いたCAEに使用される最適化の方法は

• 決定論的手法(deterministic)
• 確率論的手法（stochastic）、統計的手法（statistic）

に大別されます。 手法[Ⅰ]は数理解析法であり基礎理論が体系化され、適用範囲や計算機負荷などを、或る程度までは推定できます。 この計算技法の歴史は長く、CAEのアプリケーション・プログラムの付属モジュールとして搭載されている場合も有ります^{[2] [3]}。

例えば、汎用流体解析ソフト CFD-ACE+^[2]は

• Downhill Simplex法
• Powell法
• Brent法（1変数の探索）

を標準装備しています。

[2] 決定論的手法の問題点

上記の決定論的手法を適用する場合、

• 目的関数の多峰性に関する工夫が要る。即ち、初期値の設定に経験が必要
• 許容領域が凹関数（concave）の問題は大域解を得るには、相当な工夫が必要
• 複数の目的関数が相互にトレードオフを生じる問題、即ちPareto問題への対応に工夫が必要
• 複雑なシステムでは、最適化に至る基本方程式は解析的に数式で記述する事は困難

等の課題に留意する必要が有ります。 （「多目的関数、Pareto問題」に関しては、本News-Letter第３号、「§3　多目的関数（MOモジュール）」の項を御参照下さい）

[3] 確率論手法（統計的手法）の要件

他方、確率論的手法[Ⅱ]は上記の問題点[2]の解決を図るものであります。 多目的関数の大域的最適解を得る代表的な手法として「遺伝的アルゴリズム」（GA：Genetic Algorithm）が挙げられます。

此処で、CAEを計算機負荷の観点で振り返ってみます。 CFDは本質的に非線形問題です。機器の幾何形状や流入速度、壁面温度などの入力パラメータの数値を固定した単独のケースに付いて、数百回から数千回の反復計算を必要とします。 FEAも接触問題や大変形解析、弾塑性解析の場合は同様に反復計算が必要です。 非定常解析の計算機負荷の大きさは言う迄も有りません。

制約条件を満たす許容領域（feasible region）の探索を行い、より適切な解の方向を学習するためには、計算機内部で数十ケースから、場合に依っては百ケース以上の候補の探索を繰り返す事になります。 確率論的手法[Ⅱ]では、この計算機負荷の大きい事がボトルネックとなります。 従って目的関数の評価のために、直接にCFDやFEMの計算を行うDirect Callの頻度を低減する事が設計支援の「ツール」として必須の条件となります。 この命題に応えるのがIOSO（Indirect Optimization on the basis of Self-Organization）です。

[4] IOSOの目指す方向

IOSOの計算技法の特徴は

• 「ニューラルネット（NN）法」


• 詳しくは、MLP法（Multi Layer Perceptron nets）
  又はRBF法（Radial Basis Function nets）
• 解適合型の応答曲面法（adaptive RSM）

です。

• 特徴 a.は、複雑系 [6] に於ける「SO: Self-Organization、自己組織化」です。即ち制約条件の拘束範囲で、目的関数が自律的に状態遷移する進化型、又は創発的計算法（evolutionary computation, emerging computing）であり、
• 特徴 b.は、統計処理の手法を用いて“Direct Call”の頻度を低減するものであります。

アプリケーション･プログラムとしての特徴は、

• ユーザーが設定すべき項目が少ない

「GA(遺伝的アルゴリズム)」の場合、突然変異の頻度など、個々の解析対象に相応した調整が必要な場合も有ります。

他方IOSOのGUIには、ユーザーの属人的な設定に陥り易い項目は有りません。 RSMのサンプル数や、制約条件の処理に必要な計算技法上の設定はIOSOがプログラム内部で行います。 GUIで必要な設定は

• 収束判定精度（default = 10^-4）
• 最大反復数（default=100）
• 多目的関数の場合、Pareto setの数（default=20）
• restartの方法:
  • 蓄積した探索履歴を再利用するか
  • 終了した最終の結果のみを初期条件として使用するか

程度の一般的な事項です。通常はdefaultの設定で問題は有りません。

図4-1 アルゴリズムに関する設定画面 (クリックすると拡大します)

CAEに直接関係のない「アナロジ」に関する知識を必須としません。即ち

• GA法における「遺伝の仕組み」
• SA（Simulated Annealing）法における「焼き鈍し」
• GMDH (Group Method of Data Handling )法における「品種改良」の仮説

などの周辺知識を必要としません。（注：GMDH法に関しては、後掲予定のAppendix-91「用語解説」を御覧下さい）

IOSOのSO（自己組織化）の機構はNN（ニューラルネット）の情報伝達回路の相互作用によって進化しますが、CAEのユーザはNN法の数理的背景を知悉する必要は有りません。 学習･推論の具体的な手続きはプログラム内部で処理されます。

[5] 検証例題

上記を具体的に説明するために、数理計画法の代表的なベンチマーク問題を用いて検証します。

(5-1)設問の概説

文献^[4]で紹介された「４変数のRosenbrock関数の最小値」の問題を採り上げます。 課題の式を再記します。 （本文を再引用の場合は、原文献^[4]の出典・著者を明記し、著作権の保護に御留意下さい。）

目的関数

Min _f(x) = 200(x₂² - x₁)² + (x₁ - 1)² + 0.3(x₃ - 1)² + 0.3(x₄ - 1)²

Eq.(5-1)

制約関数

g(x) = 200(x₂ - x₁²)² + (x₁ - 1)² + 0.3(x₃ - 1)² + 0.3(x₄ - 1)² ≦ 0.5

Eq.(5-2)

理論解

x(x₁, x₂, x₃, x₄)_opt = (1, 1, 1, 1);   f_opt(x) = 0

Eq.(5-3)

設計変数の許容領域

-2 ≦ x_j ≦ 2 (j = 1,4)

Eq.(5-4)

Eq.(5-4)は、㈱シムサイドが追加した条件です。各種文献のRosenbrock問題の解説では通常、この範囲でベンチマークを行っています。

文献^[5]では、２変数のRosenbrock関数は最適値の近傍で峡谷の如く急峻な勾配を持つ事が図示されています。此れは関数形の性質と理論値の予備知識が無ければ、適切な初期値の設定が困難である事を示します。 文献^[4]の設題は、此れに加えて更に過酷な条件を課しています。即ち

• 制約条件にも目的関数に類似の非線形の拘束（Eq.(5-2)）を付加する
• 更に２変数を追加し４変数関数とする

という設題です。上記の条件 a.は、文献^[4]では許容領域は「殆んど線分」である事が図示されています。此れと斜交する峡谷状の近傍は極めて狭小となります。

設計変数が最適値、x_j=1, (j=1,4) に到達した極限では、制約条件Eq.(5-2)の右辺も、g(x)≒0に急接近します。 従って、制約条件Eq.(5-2)は収束過程で探索範囲を拘束する効果のみを持ち、最適化条件は右辺の上限の定数(0.5)に依存せずに成立すべき束縛項です。設題は細部が工夫されています。 右辺の定数が小さい程、許容領域は狭小であり過酷な問題となります（殆んど「点」になります）。

(5-2) GUIの入力

設計変数

(クリックすると拡大します)

目的関数と制約条件

(クリックすると拡大します)

(5-3) RSMの初期サンプルの生成

計算を開始する時点で、初期サンプルをプログラム内部で生成します。従って、「適切な初期値の推定」と云う、ユーザーにとって難しい作業は有りません。 Eq.(5-4)の上下限の範囲では図5-2が生成されます。

図5-2 初期サンプルの位置と目的関数の大きさ(クリックすると拡大します)

(5-4) 計算結果

図5-3 設計変数 x1 の収束状況(クリックすると拡大します)

図5-4 目的関数 f(x) の収束状況(クリックすると拡大します)

図5-5 制約関数 g(x) の推移状況(クリックすると拡大します)

(5-5)結語

以上により、IOSOは

• GUIの入力が簡潔
• 問題毎に収束のパラメータを調整する必要がない
• 高次非線形問題に対しても精度・安定性が良い
• アルゴリズムの基礎知識、周辺知識を必要としない(具体的には、ニューラルネット(NN)法に関するパラメータは登場しない)

等、シミュレーション・ソフトの要件を満足する事を示しました。

参考文献

1. IOSO Technology Center. About us.
   http://www.iosotech.com/ioso111.htm
2. 汎用熱流体解析およびマルチフィジックス解析ソフトウェア CFD-ACE+
   http://www.wavefront.co.jp/CAE/cfd-ace-plus/
3. 回路網型熱流動解析ソフトウェア SINDA/FLUINT
   http://www.simscid.co.jp/sf/
4. 「非線形判別分析の制約付き最適化問題への応用」、宮田･許･工藤、日本機械学会 第14 回計算力学講演会 2001/11/29
   http://www.engineous.jp/cao/papers/20011129.pdf
5. 今野･山下、「非線形計画法」、日本科学技術連盟出版社、p.122, 1978．
6. 「複雑系」に関しては多数の文献が有ります。下記は平易に解説されています。
   (6-1)今野、「図解　複雑系」、ナツメ社、1998, ISBN4-8163-2389-9